カントール　心を病んだ数学者は集合論的にどこに帰属できたか

9月 23, 20175月 16, 2018

ゲオルク・カントール　集合論の基礎を確立したドイツの数学者

ゲオルク・カントール（１８４５－１９１８年）は、現代数学を記述する上で欠くことのできない集合論の基礎を確立したドイツの数学者です。

ゼノンのパラドックスに代表されるように、古代ギリシャ以来人々の直感と相容れない姿を見せてきた無限。

カントールは、フーリエ級数を研究する中で、この無限という概念の曖昧性に気づき、自ら開拓した集合論を武器として、闇に包まれた無限のベールを一枚また一枚とはぎ取っていきました。

彼があみだした対角線論法という証明法は、その論理展開の鮮やかさで彼の名前とともに後世の人々に語り継がれています。

曖昧さを排除して厳密に　集合論の起源

学校や職場で「厳密に定義しろ」とか「曖昧な言い方をするな」とかいったお叱りを受けることがありますよね。しかし、厳密に正確に曖昧さを排除して物を語り伝えるには、どうすればいいのでしょうか。

私達が思うのと同じように、カントールも悩み続けたことでしょう。そして、たどり着いたのが集合論だったのです。

閉ざされ、傷ついた心　そして辿り着いた成果

カントールは１８４５年にロシアのサンクトペテルブルクで生まれます。父は敬虔なルーテル教徒であり、その影響でカントールも深い信仰心をもつようになったと言われています。

１８５６年にカントール一家はドイツに移住することになるのですが、ここから彼の数学研究が始まります。

１８６２年にチューリッヒ科学技術専門学校に入学後、ベルリン大学に移りワイエルシュトラス、クンマー、クロネッカーらの講義を受ける機会に恵まれます。

１８６８年には数論に関する学位論文でベルリン大学の博士号を授与され、翌年ハレ大学で教授職を得ます。ハレ大学では長年の同僚となるハイネと出会うのですが、カントールは彼の助言でフーリエ級数の一意性問題に取り組むようになります。

この問題はディリクレ、リーマンらのそうそうたる面々ですら解決に成功していないものだったのですが、彼は１８７０年４月にフーリエ級数の表現一意性を証明し、数学界に名をとどろかせることとなります。

１８７２年にはデデキントと親交を結び、同年、２人は各々独立に有理数、無理数、実数の定義に関する論文を発表します。

順調に思えるカントールの経歴ですが、ベルリン大学の師でもあったクロネッカーがカントールの研究に真っ向から反対していたことから、イジメとも思えるような仕打ちを受けることとなり、この頃から彼は心を病むようになってしまいます。

１８７３年には有理数は自然数と１対１に対応させることができる（可算である）ことを証明します。翌年には実数ではそれが不可能なこと（非可算であること）を証明しますが、心を病むに至ったことと同じ理由により、その論文を大っぴらに発表することをしませんでした。

その後カントールは、写像の概念に着想を得て、集合論の基礎付けに取り組むこととなります。１８７９年から１８８４年にかけ、集合論に関する一連の論文を発表しますが、従来の数学が扱ったことの無い先進性と、記号論理学とも関係するような難解さのため、この論文は周囲から散々な反対意見、悪評を浴びせられてしまいます。

同じ頃、自らが提唱した連続体仮説の証明にも取り組んでいますが、証明に成功したと思ったら、その欠陥に気づいて証明を取り下げる、再び成功、再び欠陥に気づいて取り下げるということを繰り返し、袋小路におちいったようになってしまいます。

そのようなこともあって、彼はさらに心を病み神経衰弱を患ってしまいます。

しかし、カントールはあきらめることなく、その後も病と戦いながら集合論の研究を進め、１８９７年にチューリッヒで開催された国際数学者会議でフルヴィッツ、アダマールらから集合論に先鞭をつけたパイオニアとして賞賛を受けるに至りました。

晩年のカントールは、心の病がさらに悪化したこともあり、療養所でのくらしが多くなります。

そして、１９１７年にはハレで最後の療養所生活が始まります。カントールは自宅へ帰ることを望み、妻や家族に何度も手紙を書き送ったそうですが、自宅へ帰るという望みがかなうことはなく、翌年、この療養所で帰らぬ人となりました。